1.

Tạo với Ox là tạo với tia Ox hay trục hoành nhỉ? 2 cái này khác nhau đấy. Tạo với tia Ox thì chỉ có 1 góc 60 độ theo chiều dương, tạo với trục hoành thì có 2 góc 60 và 120 đều thỏa mãn. Coi như tạo tia Ox đi

Đường tròn tâm \(I\left(-2;-2\right)\) bán kính \(R=5\)

\(tan60^0=\sqrt{3}\Rightarrow\) tiếp tuyến có hệ số góc bằng \(\sqrt{3}\Rightarrow\) pt có dạng:

\(y=\sqrt{3}x+b\Leftrightarrow\sqrt{3}x-y+b=0\)

\(d\left(I;d\right)=R\Leftrightarrow\dfrac{\left|-2\sqrt{3}+2+b\right|}{\sqrt{3+1}}=5\)

\(\Leftrightarrow\left|b+2-2\sqrt{3}\right|=10\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=8+2\sqrt{3}\\b=-12+2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{3}x-y+8+2\sqrt{3}=0\\\sqrt{3}x-y-12+2\sqrt{3}=0\end{matrix}\right.\)

2.

(C1) có tâm \(I\left(1;1\right)\) bán kính \(R_1=\sqrt{2}\)

(C2) có tâm \(J\left(2;3\right)\) bán kính \(R_2=4\)

Gọi tiếp tuyến chung d có pt: \(ax+by+c=0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}d\left(I;d\right)=R_1\\d\left(J;d\right)=R_2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left|a+b+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{2}\\\dfrac{\left|2a+3b+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\sqrt{2}\left|a+b+c\right|=\left|2a+3b+c\right|\)

? Đề nghiêm túc đấy chứ? Cho kiểu này thì sấp mặt, tối thiểu pt (C1) cũng có dạng \(x^2+y^2-2x-2y+1=0\) để học sinh còn thở chứ.

Ủa, nhìn lại thì bài 2 người ta cho đề kiểu hack não.

\(\overrightarrow{IJ}=\left(1;2\right)\Rightarrow IJ=\sqrt{5}< R_2-R_1=4-\sqrt{2}\)

Do đó \(\left(C_2\right)\) chứa \(\left(C_1\right)\) nên ko tồn tại tiếp tuyến chung của 2 đường tròn

Gọi \(M=\left(m;m+5\right)\left(m\in\right)R\) là điểm cần tìm.

\(\Rightarrow IM=\sqrt{2m^2+32}\)

Ta có: \(cos\left(AM;IM\right)=cos45^o\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{R}{IM}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{\sqrt{2m^2+32}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow\) vô nghiệm

Vậy không tồn tại điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn nhỏ tâm H đường kính AC 

Đường tròn (C) có tâm I (3 ; 3) và có bán kính

\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {9 + 9 - 14} = 2\)

Điểm M(x;0) thuộc Ox.

Từ M kẻ hai tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại A và B. Ta có:

\(\widehat {AMB} = {60^ \circ } \Rightarrow \widehat {IMB} = {30^ \circ }\)

\(\Rightarrow IM = {R \over {\sin {{30}^ \circ }}} = 2R = 4\)

\(IM = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 9} = 4\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 6x + 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt 7\)

Vậy có hai điểm M thỏa mãn đề bài, chúng có tọa độ là :

\({M_1}\left( {3 + \sqrt 7 ;0} \right)\) và \({M_2}\left( {3 - \sqrt 7 ;0} \right)\)